一発で解けたらIQが高い?モンティ・ホール問題

皆さんはモンティ・ホール問題をご存じでしょうか。この問題は人間の直感と答えが一致しない思考問題として有名です。この問題には様々な解説がありますが、管理人的にしっくりくる解説をしたいと思います。( ´∀` )

一発で解けたらIQが高い?モンティ・ホール問題とは?

そもそもこの問題はマリリン・ボス・サヴァントという女性が連載するコラム「マリリンにおまかせ」の中で読者投稿から取り上げられたものです。その問題とは以下のようなものでした。

ゲームのルール
(1) 3つのドア (A, B, C) に(景品、ヤギ、ヤギ)がランダムに入っている。
(2) プレーヤーはドアを1つ選ぶ。
(3) モンティ(司会者)は残りのドアのうち1つを必ず開ける。
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
(5) モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。
問題:この時にプレーヤーは景品を得るためにドアを選び直すべきか?

この問題の答えですが、「選び直したほうが良い」が正解となります。どうでしょうか?ご自身の直感で理解できますでしょうか。多くの人が変えても変えなくても確率は変わらないと思うはずです。

実際この問題に対してマリリン・ボス・サヴァントが上記の答えを導き出した時には多くの数学者から反論がありました。その反論とはもちろん変えても変えなくても確率は変わらないだろうというものでした。

しかし、この反論に対してもマリリン・ボス・サヴァントドアを変えた場合はプレーヤーは2/3の確率で勝てるが、変えなければ1/3しか勝てないと回答し、コンピュータによる検証でも彼女の意見が正しいことが証明されました。

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問題の解説

ではなぜ変えた方が良いとかというのを管理人なりに解説したいと思います。この問題の前提条件である
(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。
(4)モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。

が重要とされています。なぜ重要か興味のある方はwikipediaでモンティ・ホール問題を見てみて下さい。( ´∀` )

さて解説ですが、まずプレーヤーが一番初めにドアを選択した時に景品を引ける確率は1/3(約33%)ですよね。従ってドアを変えない場合は最後まで勝てる確率は1/3のままになります。

例えばA,B,CのドアがあってAを選んだとしましょう。
Aに景品はある確率が1/3、Bに景品がある確率が1/3、Cに景品がある確率が1/3ですので当たり前ですよね。ここで冷静に考えるとB又はCに景品がある確率は1/3+1/3=2/3(約66%)になります。2つ分ですので確率は良くなりますよね。

ここに(3)、(4)条件が加わるとドアを変えた場合2/3で景品が入っているドアを選ぶことができます。モンティが必ずヤギ(はずれ)が入っている方を開けてくれるからですね。従ってプレーヤーはドアを変えたほうが良いということになります。

まぁこの解説もわかりにくい人はYoutubeでわかりやすい解説がありましたので見てみて下さい。
多くの数学者が混乱したのは(3)、(4)の条件が不明確だったというのもあったようですね。

マリリン・ボス・サヴァントとはどんな人物か?

この問題に正解したマリリン・ボス・サヴァントですが、10歳の時にIQテストでIQ228を記録し、IQ世界一としてギネスにも認定されました。IQの測定は難しくばらつきがあることから現在ギネスにはこのカテゴリーが無いので、彼女が最後のギネス認定者ということになるそうです。

ちなみに東大生のIQの平均が120程度、IQが高い人だけが入会できるMENSAという団体の入会基準はIQ130以上となっていますのでIQ228がいかに高い数字なのかがわかりますね。( ´∀` )
IQ130の人は人口の約2%といわれるそうですので、日本の人口1億2千万人で考えると240万人ぐらい存在するということですね。だいたい宮城県の総人口ぐらいです。

この問題があっさり理解できた人は高IQの可能性があるのではないでしょうか。

雑学

Posted by Yuiyu3939